中考备考
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试题内容
在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,点M为射线CA上一个动点,过点M作ME⊥BM,交射线BA于E,将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN,过点N作NF⊥BN交BC延长线于点F,连接EF.
(1)如左图,当点M在边AC上时,线段EM, EF, NF的数量关系为 ；
(2)如右图,当点M在线段CA的延长线上时,判断线段EM, EF, NF的数量关系并说明理由；
(3)当点M在射线CA上运动时,能否存在△BEF为等腰三角形,若不存在,请说明理由；若存在,请直接写出CM的长.
第一问
【截长法】
在线段NF上截取NG=ME，
易证：△BME≅△BNG，
∴BE=BG，∠1=∠2，
∴∠EBG=∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∵∠EBF=45°，
∴∠GBF=45°，
易证△EBF≅△GBF，
∴EF=GF，
∴EM+EF=NG+GF=NF，
即：EM+EF=NF.
【旋转法】
将△BME逆时针旋转90°至△BNG，
易证：点N、G、F三点共线，
由旋转的性质得：
△BME≅△BNG，
∴NG=ME，BE=BG，
∠EBG=90°，
∵∠EBF=45°，
∴∠GBF=45°，
易证△EBF≅△GBF，
∴EF=GF，
∴EM+EF=NG+GF=NF，
即：EM+EF=NF.
第二问
【补短法】
延长线段FN至点G，使NG=ME，
易证：△BME≅△BNG，
∴BE=BG，∠1=∠2，
∴∠EBG=∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∵∠EBF=45°，
∴∠GBF=45°，
易证△EBF≅△GBF，
∴EF=GF，
∴EM+NF=NG+NF=GF=EF，
即：EM+NF=EF.
【旋转法】
将△BME逆时针旋转90°至△BNG，
易证：点N、G、F三点共线，
由旋转的性质得：
△BME≅△BNG，
∴NG=ME，BE=BG，
∠EBG=90°，
∵∠EBF=45°，
∴∠GBF=45°，
易证△EBF≅△GBF，
∴EF=GF，
∴EM+NF=NG+NF=GF=EF，
即：EM+NF=EF.
难点
“截长补短法”和“旋转法”都可以解决问题，但是需要注意的是：
1.截长补短后需要证明三角形全等；2.旋转后需要证明三点共线.
第三问
①当EB=EF时，
∠EFB=∠EBF=45°，
∴∠BEF=∠BGF=90°，
∴点G、N重合，
∴ME=GN=0，
∴点M、E重合，
∴点M在射线BA上，
∵点M在射线CA上，
∴点M、A重合，
∴CM=CA=2；
②当BE=BF时，
BG=BF，
在等腰三角形GBF中，
∵BN⊥FG，
∴BN平分∠GBF，
∵∠GBF=45°，
∴∠1=∠2=22.5°，
易证：∠BMC=22.5°，
∴AM=AB=(√2)AC=(2√2)，
∴CM=AM+AC=(2√2)+2；
③当FB=FE时，
∠4=∠5，
由题意得：
∠5=∠6=∠7，
∴∠4=∠7，
∴ME∥BF，
∴∠FBM=180°-∠EMB=90°，
显然与题设矛盾.
综上所述：CM的长为2或(2√2)+2.
关键词：
